포트폴리오 이론 — 평균·분산(MPT)·효율적 투자선·샤프·CAL·접선 포트폴리오¶

면책: 본 문서는 교육 목적이며, 특정 개인·법인에 대한 투자·세무·법률 자문이 아닙니다. 과거 수익·상관·변동성은 미래를 보장하지 않습니다. 제도·세율·상품 조건은 변경될 수 있으므로 실행 전 공식 출처를 확인하세요.

메타¶

항목	내용
최종 검증일	2026-05-24
정책·법령 기준일	2025-12-31 확정, 2026 ISA·연금 확대안 별도
난이도	L4 (Graduate) — READER-GUIDE
예상 읽기 시간	150~180분
관련 bucket	Bucket 3 (코어 배분), Bucket 4 (위성·집중)

0. 이 편 읽기 전 (5분)¶

항목	내용
난이도	L4 (Graduate) — READER-GUIDE §L등급
선수	compound-interest-and-time-value, asset-allocation
이번 편에서 쓰는 기호	Bucket, 코어, 위성, DCA
복습 한 줄	L3 선수 편을 먼저 읽으면 수식이 수월함

TL;DR¶

평균·분산(MPT) 은 투자자가 기대수익(평균) 과 위험(분산·표준편차) 만으로 포트폴리오를 평가한다는 1952년 마코위츠 프레임워크다.
두 자산 포트폴리오의 위험은 가중 평균이 아니라 상관계수 ρ 에 의해 분산 효과가 생긴다 — ρ < 1 이면 σ_p 가 단순 가중합보다 작아질 수 있다.
효율적 투자선(EF) 은 동일 σ 에서 최대 μ (또는 동일 μ 에서 최소 σ) 인 포트폴리오 집합이다.
샤프 비율 \(S = (μ_p - R_f)/σ_p\) 는 초과수익 대비 변동성 — 무위험 대비 “기울기” 직관이 핵심이다.
자본배분선(CAL) 은 무위험 + 위험자산(또는 위험 포트) 조합; 접선 포트폴리오 는 CAL 이 효율적 투자선에 접하는 점 — 이후 CAPM·시장 포트폴리오의 출발점이다.

1. 한 줄 정의 + 왜 중요한가¶

MPT (Modern Portfolio Theory)

분산·효율 프론티어 포트폴리오 이론.

정의: 현대 포트폴리오 이론(Modern Portfolio Theory, MPT) 은 위험자산을 기대수익 μ 와 분산 σ² (또는 표준편차 σ)로 요약하고, 분산(diversification) 으로 포트폴리오 위험을 줄이며, 효율적 투자선 위에서 선택하는 규범적 투자 프레임이다.

Bucket

시간·목적별 자금 슬롯(0 비상금 → 3 코어 등)

왜 중요한가: asset-allocation.md에서 “주식 60%·채권 40%”를 정했다면, MPT는 왜 그 비중이 위험·수익 트레이드오프를 바꾸는지를 수식으로 말해 준다. QQQ·국내 채권·현금을 섞을 때 상관이 낮을수록 같은 μ 에서 σ 가 줄어드는지, 샤프로 코어 vs 위성을 비교하는지 — passive-vs-active.md, capm-and-risk-return.md로 이어지는 문법이다. Bucket 3 코어는 “감당 가능한 σ 안에서 μ 를 최대화”하는 MPT 언어와 정합한다.

2. 선수 지식 / 이후 읽을 것¶

선수: - compound-interest-and-time-value.md - asset-allocation.md - stocks-equities-intro.md - bonds-fixed-income.md - capm-and-risk-return.md — β·체계적 위험 입문

이후: - risk-management-portfolio.md - performance-measurement.md - factor-investing-primer.md - rebalancing-and-dca.md

3. 직관·비유¶

평균·분산 = 메뉴의 맛과 매운맛: μ 는 "평균적으로 얼마나 맛있는가(수익)", σ 는 "한 입마다 얼마나 들쭉날쭉한가(위험)". 투자자는 더 맵게(고μ) 가되 너무 맵진(고σ) 않게 조합을 고른다. 쉽게 말하면: 수익을 극대화하기보다 "주어진 위험 수준에서 가능한 최선의 수익"을 찾는 것이 MPT의 목표입니다.

상관 = 두 요리가 동시에 맵아지는가: 해산물·고기가 항상 같이 매워지면(ρ≈1) 섞어도 매운맛(σ)이 잘 안 줄어든다. 한쪽은 순하고 한쪽은 매울 때(ρ 낮음·음수) 섞으면 전체 매운맛이 줄어든다 — 이것이 분산의 마법이다. 한국 투자자에게 실제로 중요한 이유: 코스피와 나스닥은 평소에는 상관이 낮지만, 2020년 코로나 폭락처럼 위기 때는 ρ가 1에 가까워집니다. 분산이 가장 필요할 때 분산이 작동하지 않을 수 있다는 한계를 기억해야 합니다.

효율적 투자선 = 최고의 레시피 곡선: 같은 매운맛(σ)에서 가장 맛있는(μ) 조합만 모은 경계선. 그 아래 조합은 지배(dominated) — 굳이 선택할 이유가 없다. 실제로는: QQQ+채권 조합이 QQQ 단독보다 EF에 더 가까운 이유가 바로 이것입니다.

샤프 비율 = "1의 위험을 감수해서 얼마를 벌었는가": 초과수익(μ−R_f)을 σ 로 나눈 기울기. 샤프가 0.5라면 "변동성 1%를 감수할 때 0.5%의 초과수익"입니다. CAL 은 무위험에서 출발해 위험 포트까지 직선 — 기울기가 곧 샤프. 핵심은: 샤프가 높은 포트폴리오가 반드시 수익이 높은 것은 아닙니다. 위험 대비 효율이 좋은 것입니다.

4. 정식 개념·용어¶

용어	English	정의
기대수익	Expected return μ	확률가중 평균 수익률
분산	Variance σ²	수익률 편차의 제곱 평균
표준편차	Std dev σ	√σ², 위험의 실무 지표
공분산	Covariance Cov	두 자산 수익률 공동 변동
상관계수	Correlation ρ	Cov/(σ_A σ_B), −1~1
투자가능 집합	Feasible set	달성 가능한 (σ, μ) 조합
효율적 투자선	Efficient frontier	지배되지 않는 경계
지배	Dominance	동일·더 낮은 σ 에서 더 높은 μ
무위험자산	Risk-free R_f	국채 근사
샤프 비율	Sharpe ratio	(μ_p−R_f)/σ_p
CAL	Capital allocation line	R_f 와 위험 포트 직선 조합
접선 포트폴리오	Tangency portfolio	CAL 과 EF 접점
레버리지·차입	Borrowing/lending	R_f 초과·차입으로 CAL 연장

4a. 핵심 용어 (본문 등장 순)¶

용어	한 줄	관련 이론	glossary
MPT	μ·σ로 포트를 평가·분산하는 1952 프레임	Markowitz	—
기대수익 μ	확률가중 평균 수익률	기대값	—
분산·표준편차 σ	수익률 변동; 위험 지표	위험	—
상관계수 ρ	두 자산 공동 변동; 분산 효과 핵심	공분산	—
투자가능 집합	달성 가능한 (σ, μ) 조합	포트이론	—
효율적 투자선	지배되지 않는 (σ, μ) 경계	Markowitz	—
지배	동일·더 낮은 σ에서 더 높은 μ	효율성	—
샤프 비율	(μ_p−R_f)/σ_p 초과수익 per 위험	Sharpe	—
CAL	R_f와 위험 포트 직선 조합	Tobin separation	—
접선 포트폴리오	CAL이 EF에 접하는 최대 샤프 점	CAPM 출발	CAPM
무위험자산 R_f	국채 근사	자본시장	—
레버리지·차입	R_f 초과·차입으로 CAL 연장	레버리지	—

4b. 관련 이론 미니맵¶

자산배분 — MPT를 실행 비중(60/40 등)으로
CAPM — 접선 포트·β·시장 포트
성과 측정 — 샤프·IR·벤치 비교
리스크 관리 — σ·드로다운·한도
팩터 투자 — MPT 이후 α·팩터 확장

5. 메커니즘¶

5.1 MPT 의사결정 흐름¶

flowchart TD
  Data["수익률 역사·기대"] --> Est["μ σ ρ 추정"]
  Est --> Feas[투자가능집합]
  Feas --> EF["효율적 투자선"]
  EF --> Pref["위험선호·μ σ 목표"]
  Rf["R f"] --> CAL["CAL 무위험조합"]
  EF --> Tan["접선포트 M"]
  Tan --> CAL

5.2 분산과 상관¶

flowchart LR
  A[자산A] --> Port[포트폴리오]
  B[자산B] --> Port
  Rho["ρ AB"] --> Port
  Port --> Sig["σ p 공식"]
  Sig --> Low["ρ↓ σ p↓ 가능"]

5.3 CAL 과 접선¶

flowchart TD
  Rf2["R f"] --> Line["CAL 직선"]
  M["접선포트 M"] --> Line
  Line --> Lend["초과 무위험 투자"]
  Line --> Borrow["차입 레버리지"]
  EF2[EF] --> M

6. 수식·모델¶

6.1 단일 자산¶

수익률 \(r_i\), 기대수익 \(μ_i = E[r_i]\), 분산 \(σ_i^2 = Var(r_i)\).

6.2 두 자산 포트폴리오 (핵심 유도)¶

비중 \(w_A, w_B\), \(w_A + w_B = 1\).

기대수익 (선형):

기호	이름	이 식에서 의미
r	할인율·수익률	기간당 이자·요구수익률
n	기간	연·월 등 복리·할인에 쓰는 횟수
PV	현재가치	오늘 시점으로 환산한 금액
FV	미래가치	미래 시점의 목표·결과 금액

\[ μ_p = w_A μ_A + w_B μ_B \]

식 (기호): μ_p = w_A μ_A + w_B μ_B

읽는 법: p와 w의 관계를 위 식으로 쓴다. 경제·재무 해석은 변수표 「이 식에서 의미」와 DEPTH-STANDARD 기호 예제를 맞춘다. 유도 (L4): 1. 정의: p, w, A를 동일 시점·동일 통화로 맞춘다. — 단위 불일치면 식이 무의미해진다. 2. 식 변형: 양변을 정리해 목표 변수를 한쪽에 둔다. — 할인·복리는 시점 이동이 핵심이다.

분산 (비선형 — 상관 진입):

기호	이름	이 식에서 의미
r	할인율·수익률	기간당 이자·요구수익률
n	기간	연·월 등 복리·할인에 쓰는 횟수
PV	현재가치	오늘 시점으로 환산한 금액
FV	미래가치	미래 시점의 목표·결과 금액

\[ σ_p^{2} = w_A^{2} σ_A^{2} + w_B^{2} σ_B^{2} + 2 w_A w_B ρ_{AB} σ_A σ_B \]

식 (기호): σ_p^2 = w_A^2 σ_A^2 + w_B^2 σ_B^2 + 2 w_A w_B ρ_AB σ_A σ_B

읽는 법: w_A와 w_B의 관계를 위 식으로 쓴다. 경제·재무 해석은 변수표 「이 식에서 의미」와 DEPTH-STANDARD 기호 예제를 맞춘다. 유도 (L4): 1. 정의: w_A, w_B를 동일 시점·동일 통화로 맞춘다. — 단위 불일치면 식이 무의미해진다. 2. 식 변형: 양변을 정리해 목표 변수를 한쪽에 둔다. — 할인·복리는 시점 이동이 핵심이다. 표준편차: \(σ_p = \sqrt{σ_p^2}\).

직관: \(ρ_{AB}=1\) 이면 \(σ_p = w_A σ_A + w_B σ_B\) (가중합, 분산 이득 없음). \(ρ_{AB}<1\) 이면 제곱근 안의교차항이 감소하여 \(σ_p\) 가 가중합보다 작을 수 있다. \(ρ_{AB}=-1\) 이고 적절한 \(w\) 면 이론상 \(σ_p \to 0\) 도 가능(교육용 극단).

읽는 법: r와 n의 관계를 위 식으로 쓴다. 경제·재무 해석은 변수표 「이 식에서 의미」와 DEPTH-STANDARD 기호 예제를 맞춘다. 유도 (L4): 1. 정의: r, n, PV를 동일 시점·동일 통화로 맞춘다. — 단위 불일치면 식이 무의미해진다. 2. 식 변형: 양변을 정리해 목표 변수를 한쪽에 둔다. — 할인·복리는 시점 이동이 핵심이다.

6.3 N 자산 일반화¶

기호	이름	이 식에서 의미
r	할인율·수익률	기간당 이자·요구수익률
n	기간	연·월 등 복리·할인에 쓰는 횟수
PV	현재가치	오늘 시점으로 환산한 금액

\[ σ_c = w σ_P \quad (\text{ρ}(r_f, r_P)=0 \text{ 가정}) \]

식 (기호): σ_c = w σ_P (ρ(r_f, r_P)=0 가정)

읽는 법: r_f와 r_P의 관계를 위 식으로 쓴다. 경제·재무 해석은 변수표 「이 식에서 의미」와 DEPTH-STANDARD 기호 예제를 맞춘다. 유도 (L4): 1. 정의: r_f, r_P를 동일 시점·동일 통화로 맞춘다. — 단위 불일치면 식이 무의미해진다. 2. 식 변형: 양변을 정리해 목표 변수를 한쪽에 둔다. — 할인·복리는 시점 이동이 핵심이다.

차입: \(w>1\) → 레버리지 CAL 연장. leveraged-etf-qqq-qld.md의 일일 리셋 레버리지는 이 단순 CAL 과 다름 — 오용 금지.

6.7 접선 포트폴리오와 CAPM 다리¶

접선 포트 M 에서 CAL 기울기 최대 → 이후 CAPM에서 모든 투자자가 동일 M 을 보유(동질 기대·균형)하면 시장 포트폴리오 = M. 본 문서는 소개만 — capm-and-risk-return.md.

할(§4·본문 참고) |Lagrange → EF 한 가지 \(μ\) 당 하나의 최소분산 포트.

6.5 샤프 비율 — 유도 직관¶

정의:

기호	이름	이 식에서 의미
\(R_f}\)	무위험금리	국채·예금 등 기준 금리

\[ S_p = \frac{μ_p - R_f}{σ_p} \]

식 (기호): S_p = (μ_p - R_f) / (σ_p)

읽는 법: S_p와 R_f의 관계를 위 식으로 쓴다. 경제·재무 해석은 변수표 「이 식에서 의미」와 DEPTH-STANDARD 기호 예제를 맞춘다. 유도 (L4): 1. 정의: S_p, R_f를 동일 시점·동일 통화로 맞춘다. — 단위 불일치면 식이 무의미해진다. 2. 식 변형: 양변을 정리해 목표 변수를 한쪽에 둔다. — 할인·복리는 시점 이동이 핵심이다.

기하학적 직관: μ–σ 평면에서 점 \((σ_p, μ_p)\) 와 ((0, R_f) | 기호 | 이름 | 이 식에서 의미 | |------|------|----------------| | R_f | 무위험금리 | 국채·예금 등 기준 금리 | | M | 월 실수령 | 가계 교육용 월 세후 소득 기호 | | P | 포트 규모 | 가상 포트폴리오 규모(만 원) |

) 를 잇는 직선의 기울기가 \(S_p\) 이다. 같은 \(σ\) 에서 \(μ\) 가 높을수록, 같은 \(μ\) 에서 \(σ\) 가 낮을수록 샤프가 커진다.

최적화 연결: 무위험자산 존재 시, EF 위에서 샤프를 최대화하는 포트가 접선 포트폴리오 M. CAL 은 \((0,R_f)\) 에서 \((σ_M, μ_M)\) 까지의 직선이며, 기울기 \(S_M = (μ_M - R_f)/σ_M\) 이 모든 위험 포트 중 최대 (동일 가정 하).

왜 분모가 σ 인가 (교육): Markowitz는 분산을 위험으로 두었고, 정규분포 가정·2차 효용 하에서 평균·분산만으로 선호가 표현된다. 실무에서는 하방 위험·Sortino 등 보완 — performance-measurement.md.

6.6 CAL (자본배분선)¶

위험 포트 \(P\) (비중 \(w\), \(1-w\) 는 무위험):

기호	이름	이 식에서 의미
r	할인율·수익률	기간당 이자·요구수익률
n	기간	연·월 등 복리·할인에 쓰는 횟수
PV	현재가치	오늘 시점으로 환산한 금액

\[ μ_c = (1-w) R_f + w μ_P \]

식 (기호): μ_c = (1-w) R_f + w μ_P

읽는 법: r와 n의 관계를 위 식으로 쓴다. 경제·재무 해석은 변수표 「이 식에서 의미」와 DEPTH-STANDARD 기호 예제를 맞춘다. 유도 (L4): 1. 정의: r, n, PV를 동일 시점·동일 통화로 맞춘다. — 단위 불일치면 식이 무의미해진다. 2. 식 변형: 양변을 정리해 목표 변수를 한쪽에 둔다. — 할인·복리는 시점 이동이 핵심이다. | 기호 | 이름 | 이 식에서 의미 | |------|------|----------------| | r_f | r f | 국채·예금 등 기준 금리 | |------|------|----------------|

\[ σ_c = w σ_P \quad (\text{ρ}(r_f, r_P)=0 \text{ 가정}) \]

식 (기호): σ_c = w σ_P (ρ(r_f, r_P)=0 가정)

읽는 법: r_f와 r_P의 관계를 위 식으로 쓴다. 경제·재무 해석은 변수표 「이 식에서 의미」와 DEPTH-STANDARD 기호 예제를 맞춘다. 유도 (L4): 1. 정의: r_f, r_P를 동일 시점·동일 통화로 맞춘다. — 단위 불일치면 식이 무의미해진다. 2. 식 변형: 양변을 정리해 목표 변수를 한쪽에 둔다. — 할인·복리는 시점 이동이 핵심이다.

차입: \(w>1\) → 레버리지 CAL 연장. leveraged-etf-qqq-qld.md의 일일 리셋 레버리지는 이 단순 CAL 과 다름 — 오용 금지.

6.7 접선 포트폴리오와 CAPM 다리¶

접선 포트 M 에서 CAL 기울기 최대 → 이후 CAPM에서 모든 투자자가 동일 M 을 보유(동질 기대·균형)하면 시장 포트폴리오 = M. 본 문서는 소개만 — capm-and-risk-return.md.

7. 한국 적용¶

7.1 코어 자산과 ρ (교육용)¶

조합(가상)	ρ 대략	Bucket	MPT 함의
KOSPI200 + 미국채	0~0.3	3	σ_p ↓, EF 이동
QQQ + TLT(장채)	0~0.2	3	성장+금리 헤지
QQQ + 국내 반도체 1종	0.6~0.9	4	분산 한계
코스닥 소형 다수	상호 0.5+	4	비체계적 일부만 제거

ISA·IRP에서의 MPT 적용: ISA에서는 QQQ(주식) + 국채 ETF(채권)로 효율적 포트폴리오를 구성할 수 있습니다. IRP는 위험자산 70% 한도가 있으므로, IRP만으로도 최소한의 MPT 배분이 강제됩니다 — 실제로 이 강제 배분이 MDD를 낮춰주는 역할을 합니다.

주의: 코스피와 나스닥의 상관관계는 평상시 0.5~0.7이지만, 2020년 코로나·2022년 긴축 쇼크 같은 위기 때는 0.85~0.95로 급등합니다. 쉽게 말하면: 분산이 가장 필요한 순간에 분산 효과가 줄어듭니다. 이것이 MPT의 가장 큰 현실적 한계입니다.

7.2 2025 vs 2026 맥락¶

항목	2025	2026 (예정·논의)	MPT 실무
ISA 한도	확정	확대안	리밸런싱으로 w 유지
IRP·DC	확정	세제 연계	코어 μ, σ 목표
NXT·장후	거래 인프라	—	MPT와 무관, 행동 리스크 ↑
환율	변동	—	해외 ETF Σ 추정 시 환헤지 분리

법·정책: 본 장은 세제 자문 아님. isa.md, irp.md는 통(bucket) 만 연결.

7.3 DB 가입자¶

회사 DB는 개인이 w 를 정하지 못함 — MPT는 ISA·IRP(Bucket 2b~3) 의 코어 설계에 적용. DB는 인적자본·확정급여로 별도 시트.

7.4 한국 투자자 함정¶

국내 주식만: EF 가 좁음 — geographic-diversification.md.
원화 표시 σ: 해외 자산은 환율 변동이 Σ 에 포함 — 헤지 여부 명시.
백테스트 μ: 과거 최고의 w 는 미래 EF 가 아님 — passive-vs-active.md.

8. 가상 숫자 예제¶

예제 1 — 두 자산: 주식·채권¶

	μ (연)	σ (연)
A 주식	8%	18%
B 채권	4%	6%
------	------	----------------
50:50 (\(w_A=0.5\)):

\(μ_p = 0.5×8 + 0.5×4 = 6\%\)

\(σ_p^2 = 0.25×0.18^2 + 0.25×0.06^2 + 2×0.5×0.5×0.2×0.18×0.06 = 0.008109 + 0.000225 + 0.00216 ≈ 0.010494\)

\(σ_p ≈ 10.24\%\)

가중합 σ: \(0.5×18 + 0.5×6 = 12\%\) → 분산으로 1.76%p 감소 (가상).

샤프 (\(R_f=3\%\)): \(S_p = (6-3)/10.24 ≈ 0.29\). 주식 단독 \(S_A = (8-3)/18 ≈ 0.28\) — 이 숫자에서는 혼합이 샤프 소폭 개선 (ρ·σ 가정에 민감).

예제 2 — ρ 가 EF 모양을 바꿈¶

동일 \(μ_A, μ_B, σ_A, σ_B\), ρ=0.8 vs ρ=0.2 → 후자의 최소분산 포트 σ 가 더 낮음. 그래프상 EF 가 왼쪽(저σ) 으로 볼록해짐.

예제 3 — 접선·CAL (교육)¶

\(R_f=3\%\), EF 위 포트 M: \(μ_M=9\%\), \(σ_M=14\%\) → \(S_M = 6/14 ≈ 0.43\).

투자자가 σ 목표 10%: CAL 상 \(σ_c = w σ_M\) → \(w = 10/14 ≈ 71\%\) 위험, 29% 무위험.

\(μ_c = 0.29×3 + 0.71×9 ≈ 7.26\%\).

차입 \(w=1.2\): \(σ_c=16.8\%\), \(μ_c=10.2\%\) — 교육용, 실제 차입·레버리지 ETF 비용·경로 의존 별도.

9. FAQ (8+)¶

Q1. MPT는 “수익 최대화”인가?
아니다. μ–σ 트레이드오프 — 위험 감수량에 따라 EF 위 최적점이 달라진다.

Q2. 왜 분산만으로 위험이 안 없어지나?
\(ρ=1\) 이고 동일 섹터면 체계적 위험만 남는다 — risk-management-portfolio.md.

Q3. 공매도·레버리지 없이 EF 가 달라지나?
\(w_i \ge 0\) 제약 시 EF 가 단축 — 일부 (σ, μ) 조합 불가.

Q4. μ 를 과거 평균으로 쓰면?
추정 오차·체제 변화 — 전진 μ·블랙-리터만 등은 심화. 코어는 지수·장기 프리미엄 가정 + 보수적 σ.

Q5. 샤프가 높으면 무조건 좋은가?
표본 샤프 는 불확실. Sortino·정보 비율·벤치마크 맥락 필요 — performance-measurement.md.

Q6. 접선 포트 = QQQ 100%?
아니다. M 은 추정된 Σ, μ 에 따른 최적 혼합 — 실무에선 시장가중 지수 근사.

Q7. CAL 과 60/40 관계?
60/40은 전략적 배분 예시; CAL 은 R_f 축 포함 동적 무위험 조합 기하학.

Q8. 암호화폐·QLD를 EF 에 넣으면?
비정상·비선형·꼬리 — MPT 가정 위반. Bucket 4 별도 리스크 예산.

Q9. 한국 ISA 안에서 EF 최적화?
가능하나 거래비용·세금(분리과세 등) 은 목적함수에 비용 항 추가 — 단순 MPT 초과.

Q10. μ–σ 대신 CVaR?
기관·규제 — 개인 교육은 MPT 문법 후 하방 지표 확장.

10. 함정·리스크¶

함정	설명	대응
역사적 μ·Σ	과최적화	보수적 가정·리밸런싱
정규성 가정	꼬리·비대칭	MDD·스트레스 — 리스크 장
상관 급등	위기 시 ρ→1	채권·금·현금 밴드
접선 포트 착각	“한 종목이 정답”	코어 다자산
레버리지 단순화	CAL ≠ QLD	별도 문서
행동 편향	EF 밖 거래	behavioral-finance-complete.md

Q. 실무에서는?
교과서 식·기호를 그대로 적용하기 전에 수수료·세금·데이터 시점을 분리한다. 숫자는 DEPTH-STANDARD처럼 기호만 먼저 맞추고, 법령·시장 수치는 §8 표·외부 출처로 갱신한다.

11. 심화 읽기¶

Markowitz (1952) — Portfolio Selection
Sharpe (1964) — CAPM
Bodie, Kane, Marcus — Investments (EF·CAL 장)
Elton, Gruber — Modern Portfolio Theory and Investment Analysis
본 저장소: capm-and-risk-return.md, factor-investing-primer.md

연습문제 (L4, 기호)¶

위 §6 주요 식에서 변수 하나를 미지로 두고, 나머지를 기호로 둔 관계식을 쓰시오.
가정이 깨질 때(유동성·세금·다중 IRR 등) 위 식의 한계를 기호·부등식으로 서술하시오.
§8 예제와 동일 기호(M·P·PV 등)로 부호·단조성만 검증하는 짧은 논증을 하시오.

해설 키¶

직전 변수표의 「이 식에서 의미」를 이용해 동일 차원으로 정리한다.
「가정이 깨지면」 절의 한계 사례와 연결한다.
숫자 대입 없이 부호·단위 일치만 확인한다.

12. 퀴즈·연습¶

\(σ_A=20\%, σ_B=10\%, ρ=0.5, w_A=0.6\) 일 때 \(σ_p\) 를 계산하라.
ρ 가 1→0 으로 갈 때 동일 μ 에서 \(σ_p\) 는 어떻게 되는가? 그래프로 설명.
\(R_f=2\%, μ_p=7\%, σ_p=15\%\) 의 샤프를 구하고, \(S=0.4\) 인 포트의 필요 \(μ\) (σ=15% 고정)를 구하라.
공매도 금지가 EF 에 미치는 영향을 한 단락으로 쓰라.
가상의 QQQ+국채 포트에서 ρ 추정 오류가 샤프 순위를 뒤집을 수 있는 시나리오를 쓰라.

정답 힌트: (1) ≈13.4% (2) σ_p 감소·EF 좌측 (3) S≈0.33, μ=8% (4) 단축 (5) 위기 시 ρ 상승.

부록 A — μ–σ 평면과 무차별곡선 (교육)¶

효용 \(U = U(μ, σ)\) — 위험 회피 투자자는 무차별곡선이 EF 에 접하는 점을 선택. 곡선이 가파를수록 위험 회피 높음. 실무: 설문·MDD 한도로 간접 추정 — time-horizon-and-buckets.md.

부록 B — 3자산 이상 EF 구성 (개념)¶

자산 3개면 투자가능 집합이 μ–σ 평면에서 영역 → 경계가 EF. 계산은 최적화 소프트웨어 — 개인은 지수 2~4개로 근사.

부록 C — 블랙-리터만·베이지안 (한 줄)¶

시장 균형 수익 + 뷰 반영 — μ 추정 개선 논의. L4 인지 수준, 구현은 심화 과정.

부록 D — 한국 코스피·채권 장기 상관 (교육)¶

금리 급등 구간(가상 2022 스타일) 채권 σ↑, 주식 동반 하락 시 ρ 부호·크기 변화 — 60/40 동시 타격. 대응: 만기·크레딧·현금 밴드, macro-02-money-inflation.md.

부록 E — 코어-위성과 MPT¶

core-satellite-framework.md: 코어 85%는 EF 근처 저비용 다자산, 위성 15%는 EF 밖 베팅 — 전체 \(μ_p, σ_p\) 는 가중합이 아니라 공분산 필요.

부록 F — 연습: EF 위 포트 비교 (가상)¶

포트	μ	σ	S (Rf=3%)
P1	7%	12%	0.33
P2	9%	18%	0.33
P3	8%	14%	0.36

P3 가 동일 S 에서 중간 μ·σ — 위험 선호에 따라 P1 vs P2 vs P3 선택. 위성 추가 시 P3 대비 σ 급증 여부 점검.

부록 G — MPT와 패시브 인덱싱¶

시장가중은 거래비용·정보 비대칭 하 실용적 M. passive-vs-active.md: 액티브는 α 베팅 = EF 내부가 아닌 정보 가정.

부록 H — 학습 로드맵¶

주 12시간: §6 손계산 3h, 예제 2h, mermaid 복기 1h, 퀴즈 2h, risk-management-portfolio.md 4h. 병행: 증권사 포트폴리오 분석기에서 2자산 ρ 슬라이더 실험(교육).

부록 I — 공분산 행렬·최적화 (개념)¶

3자산 이상에서 최소분산·최대 Sharpe 는 2차 계획 — Lagrange \(\mathcal{L} = \mathbf{w}'\boldsymbol{Σ}\mathbf{w} - \lambda(\mathbf{w}'\mathbf{1}-1) - \gamma(\mathbf{w}'\boldsymbol{μ}-\bar{μ})\). 해: \(\mathbf{w} \propto \boldsymbol{Σ}^{-1}(\boldsymbol{μ} - \lambda \mathbf{1})\) 형태(교육, 제약 없음). 공매도 금지 시 수치 해 — 개인은 지수 3~4개로 근사.

부록 J — Tobin 분리·두 단계 (교육)¶

1단계: 위험자산만으로 EF·접선 M. 2단계: \(R_f\) 와 CAL 로 위험 선호 — μ, Σ 추정과 위험 감수 분리 (이상적). 실무: time-horizon-and-buckets.md가 2단계 규칙.

부록 K — 한계·Black-Litterman 한 줄¶

μ 추정 오류가 w 에 증폭 — 시장가중·블랙-리터만은 균형 수익 + 뷰. L4 인지 — 구현은 심화.

부록 L — 연습: 3자산 최소분산 (가상)¶

\(μ_A=8\%, μ_B=5\%, μ_C=4\%\), 대각 σ 18%, 8%, 6%, ρ 모두 0.3 — 스프레드시트 Solver로 σ_p 최소 w (교육). 결과와 동일 비중 Sharpe 비교.

L4 완료 기준: TEMPLATE 12블록·FAQ 8+·검증일 2026-05-24 — DEPTH-STANDARD.